圆的标准方程的数学方法
高二数学中圆的标准方程，主要引入了一些新的概念，探索圆的方程，写出圆的方程，掌握一些几何计算能力。
1.教学目标
(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;
2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.
(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3.增强学生用数学的意识.
(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
2.教学重点.难点
(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3.教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导] 画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)
将x=2.7代入,得 .
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一:坐标法
如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 ①
把①式两边平方,得(x?a)2 (y?b)2=r2
方法二:图形变换法
方法三:向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
I.直接应用(内化新知)
问题三:1.写出下列各圆的方程(课本P77练习1)
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在 ,半径为 ;
(3)经过点 ,圆心在点 .
2.根据圆的方程写出圆心和半径
向量的概念及表示、向量的线性运算
一. 本周教学内容：向量的概念及表示、向量的线性运算
二. 本周教学目标
1、了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2、理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或判断出与某一已知向量相等的向量。
3、理解向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。
4、了解向量的减法，会作两个向量的减向量。
5、理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。
三. 本周要点
（一）向量的概念及表示
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示：①用有向线段表示；②用字母③用有向线段的起点与终点字母表示：< style='width:20.25pt; > ；
④向量 。
3、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定 、 、 ∥ ∥
5、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
（1）向量 ＝ ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相反向量
把与向量 的相反向量，记作－规定： ）＝几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
2、作两向量的加法：如图，已知向量 、 ，则向量 与 的和，记作
特殊情况：
，有 探究：（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 ＋ 的方向不同向，且 ＋ ；
（3）当 ＋ 、 ＋ ＝ 与 反向时，若 ＋ 的方向与 ＋ ＝ < ，则 ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＋ ) ＋ ＋ ( ＋x ＝ x叫做 -
2、求作差向量：已知向量 - ) ＋ ＝ ＋
减法的三角形法则作法：在平面内取一点 ， ＝ ， 则 ＝ -<9">可以表示为从向量 的终点指向向量 表示
（四）向量的数乘
1、实数与向量的积：实数λ与向量
（1）λ ；（2）λ>0时λ 方向相同；λ<0时λ 方向相反；λ＝0时λ
2、运算定律 结合律：λ(μ
分配律：(λ＋μ) ＋μ ＋ )＝λ3、向量共线定理
如果有一个实数λ，使 ＝λ ≠0)，那么 与与 ≠0) 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得 ＝λ4、平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ＝λ1 ＋λ2
说明：(1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量(4)基底给定时，分解形式惟一。λ1，λ2是被①向量 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?ぜ/p>
②单位向量都相等；?ぜ/p>
③任一向量与它的相反向量不相等；?ぜ/p>
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 在同一直线上.
②不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。
③不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。
④不正确。如图 共线，虽起点不同，但其终点却相同。
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。
例2. 如图，一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
解：设 表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 中， ，
所以
因为 ， 表示向量 。
变式一：当 ＋ 与 ＝ ）
变式二：当 ＋ ＝ ， 互相垂直）
变式三： - 可能是相当向量吗？（不可能，∵平行四边形对角线方向不同）
例4. 如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且 ， ， 表示 ， 。
例5. 设 ＝2 ＋3 ， － ， 若三点A， B， D共线，求k的值。
＝ － )－( －4
∵A， B， D共线 ∴ ， 共线 ∴存在λ使 ＝λ
即2 －4 ) ∴ ∴k＝－8
【模拟】
1. 下列各量中不是向量的是（ ）?ぜ/p>
A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度?ぜ/p>
2. 下列说法中错误的是（ ）
A. 零向量是没有方向的?? B. 零向量的长度为0?ぜ/p>
C. 零向量与任一向量平行?? D. 零向量的方向是任意的?ぜ/p>
3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A. 一条线段??B. 一段圆弧?っ. 圆上一群孤立点?? D. 一个单位圆?ぜ/p>
4. 下列等式:① ＝ ＝ )＝ ＋(－ ＋(－ )＝A. 2 B. 3 C. 4?? D. 5
5. 下列等式中一定能成立的是( )?ぜ/p>
A. ＝ －
C. ＋ －6. 化简 ＋ ＋A. C. ＝2 ＋ ， ＝3 －2λ ，若 、 是两非零向量，且 与 与 必定 。
9. 已知 ＝ ＝ ，若 ＝12， － ＝ 。
10. 在正六边形ABCDEF中， ＝ 、 是非零向量，则 ＋ 时，应满足条件 。
12. 在平行四边形ABCD中，设对角线 ， ＝ ，试用 ，13. 如图， ， ＝t 表示
【试题答案】
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D ?シ. － 8. 不共线
9. 13?ケ0. － 与 反向?ゼ/p>
12. 解： ＝ ＝ ＝
∴ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋ ＋
13. 解：∵
∴ ＝ ＋ t＝ ＋ t( -t ＝(1-t) ＋ t
新高三 数学学习如何完美开局
是紧张且充满挑战的一年。新生该如何在开学阶段就HOLD住科目，当前的重点是什么？据此，笔者采访了上外西外外国语学校部教研组长陆金中。
[学法指南]
开学数学四步走
一、梳理基础
陆金中表示，以前学过的知识要全面掌握和理解，在心中建立知识网络。打好基础，首先须重视数学基本概念、基本定理（公式、法则）的，在理解上下功夫，整体把握数学知识。这部分内容的要做到不打开课本，能选择适当途径将它们回忆出，它们之间的脉络框图，能在自己中勾画出来。如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。
概念要抓住关键及注意点，公式及法则要理解它们的来源，要理解公式法则中每一个字母的含义，即它们分别表示什么，这样才能正确使用公式。在平时学习时，不要满足于得到答案就行了，而其他的却不去研究，尤其上，老师通过一个典型的例题介绍处理这种问题有哪些，可以从哪些不同的角度来思考问题。没有好坏之分，只是在解决具体的问题时才有优劣之分，更重要的是要关注通性、通法的掌握，而不是仅关注此问题特殊的、简单的方法。
二、重视“三基”
数学学科的既考查数学的基础知识和方法，又考查考生进人继续学习的潜能。因此，既突出对基础知识、基本技能、基本数学思想方法的考察，又强调立意，以数学的基础知识为载体，考察的数学，同时注意考察的创新。
陆金中强调，学生在高三的学习过程中要注重“三基”。首先，是基础知识。学生要注重基础知识的积累，能将基础知识全面的掌握和理解。其次，是基本方法，也就是“通法”，最基本的解题方法，以及书本和考纲要求学生掌握的基本方法。最后，就是基本能力。
陆金中指出，数学的基本能力包括能力、运算能力、空间能力及分析和解决问题的能力等。高三生在解题过程中一定要缜密、有理有据，步骤完整。在立体几何部分，解题时要多运用数理结合、数的运算，要有耐心。
三、注重学习策略
陆金中强调学生一定要学会自学考纲，即注重课前复习，看考纲数学要求，做到心中有数。而且在学习数学时，一定要不断巩固，适当重复，举一反三。此外，做题后的反思也很重要，学生要有意识地反思题目考察的知识点，考察的数学方法、数学思想，以及易错的点是什么。切忌钻难、怪、偏题，花无谓的时间，切忌题海战，要提高。
四、调整好学习心态
陆金中还表示，在整个高三数学的学习上，良好的学习心态也尤其重要。学生要能主动学习，即让自己的学习进度、复习进度都能赶在老师授课之前；并且还能在老师安排的基础上，制订好一份自己的计划，整理好自己的学习时间和进度，按照自己的进度和目标实施。此外，还要注重和同学间的合作学习，不能单打独斗，要多和同学探讨。在心态上，学生一定要对自己的学习能力、状态、知识水平、学习进度的实施等持有正确的评价。
[学习攻略]
科学安排好学习时间
复习时间的安排有长期、中期和短期。长期要与老师的安排大体一致，即整体进度跟着老师走。近期安排就是以章为单位或一周为单位，可以安排每天做什么，操作性要强。计划要结合老师的近期安排，跟着老师的节奏并在完成老师布置的作业后，针对自己的薄弱环节重点突破。第一轮复习务必要把基本概念、解决一类问题的基本方法等扎实掌握。
中期安排就数学而言，主要抓好几大分支：函数、三角、数列、不等式等以及解析几何、立体几何。其中函数（含不等式）、数列、解析几何是重中之重。第一轮复习时要注意各分支之间的有机结合，综合程度要根据自己的实际情况而定，普通中学的学生对综合程度高的难题，可以暂时回避，先把基础内容掌握好。立体几何近年上海卷因两种教材并行考查相对容易。
要提高自身的学习效率
首先，学生要限时做好作业。给自己规定时间，像考试一样“进入状态”，同样遵循先易后难的原则，遇到难题认真思考，但一时做不出要学会“放弃”。提倡“做后”就是对做错的题目要认真订正，不妨准备一本错题集，记下错误原因，过段时间再回顾，争取不犯同样错误。
其次，要减少低级错误。这是有些同学分数上不去的主要原因，大都由审题失误、计算失误，考试时还会有紧张等因素引起。这些问题容易被以“粗心”的表象所掩盖，实际上经常的粗心就是一种不好的习惯，必须充分认识到它的危害性，并努力加以克服。
提高分析和解决问题的能力
学生要多做练习，但不能仅满足于得到问题的答案，做过的类似问题要放在一起及时比较总结，以更好指导自己以后的解题，再在应用的过程中不断调整，这样可以“事半功倍”。针对高三考试多的特点，建议同学每次考后能针对性进行分析。分析考试中所暴露的学习盲点，对于下一阶段的学习和备考非常重要。在考后分析中，要结合错题本，及时将问题明确化、题型化。
分析后要制订具体的行动计划。找出自己的学习问题后，只有制订出具体行动计划，所作的分析才是切实有效的。针对每个问题给出具体的学习安排和调整，一定要做到问题和方案清晰量化。
[专家建议]
优等生：要学会提炼数学思想
陆金中提醒优等生在学数学过程中，不仅要掌握以上的知识和方法，更要注重归纳数学思想，即把学习上升到“思想”的层次。多做好题、名题，比如书上的例题、高考经典好题、复习材料的例题等，要在做题过程中，从中体会、提炼数学思想，如转化、类比思想等，这些思想在许多题目中都有广泛的应用。
为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数
在人教版《普通高中实验教科书?数学4?必修（A版）》（简称“人教A版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：
“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．
可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”
1．部分教师的疑惑和意见
由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：
第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．
第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”
第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．
为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始．
2．对三角函数发展历史的简单回顾
回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．
三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436―1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514―1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540―1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算．
任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．”
任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关于木星和土星运动中的不等式的一篇得奖文章中给出了三角函数的一个十分系统的处理．在Euler1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度制．”
3．任意角的三角函数与锐角三角函数的关系
从上述简单回顾可以看到，任意角的三角函数虽然与三角学（锐角三角函数）有渊源关系，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题．“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系” ，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”．另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究（其中很重要的是函数的三角级数展开式问题），一个主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量的应用．三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的” ，而这种应用又与当时的数学研究的中心工作──微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式（三角级数）的系数是用定积分表示的．
所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．
4．用“单位圆定义法”的理由
用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．
（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即
角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，
角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，
可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cosa，y= sina是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．
“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．
（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：
● P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；
● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；
● 对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；
● 对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；
● 对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；
● 对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；
● sina在[－，]内的单调性
a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；
另外，学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了．另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)．
（3）符合三角函数的发展历史．前述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”．所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．
（4）有利于后续学习．前已述及，“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述． 另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便．例如，重要极限=1几乎就是定义的一个“推论”．
5．教科书中的任意角的三角函数的引入方式
“人教A版”首先通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义．教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：
直角三角形为载体的锐角三角函数象限角为载体的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数
这样做的目的主要是为了以锐角三角函数为认知基础来学习任意角的三角函数，使学生初步体会用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数所具有的简单、方便并反映本质的好处，从而为“单位圆定义法”做好认知准备．需要注意的是，这样做并不表明任意角的三角函数与锐角三角函数之间有一般与特殊的关系．
事实上，用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．
6．几点说明
（1）“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．例如，由苏联科学院院士、世界著名数学家И.М.维诺格拉多夫主编，苏联百科全书出版社出版，被陈省身先生誉为“对数学的贡献，将无法估计”的、具有世界性权威的《数学百科全书》（中译本在2000年由科学出版社出版）中，采用了“单位圆定义法”；中国大百科全书出版社的《中国大百科全书?数学》（1992年版）中采用了“终边定义法”．应当说，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．值得强调的是正弦、余弦和正切函数在R（正切除a=(k∈Z) 外）上处处有定义，而不是角a的终边上取点的任意性．
事实上，在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这三个比值（如果有的话）都不会随点P在a的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角a，上面三个比值都是唯一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．
（2）《高中数学课程标准（实验）》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中，正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算（相除、取倒数等）而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的．这样理解各三角函数的关系，那么“用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义”的担心也就不必要了．
（3）“人教A版”在给出三角函数定义后，有如下两个例题：
例1 求的正弦、余弦和正切值．
例2 已知角a的终边经过点P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．
它们的作用主要是让学生熟悉定义．例1的解答要用锐角三角函数知识，例2的解答要用一定的平面几何知识，而许多学生的平面几何基础较差，所以有一定的困难，这是教学中需要注意的．另外，例2还有让学生研究“终边定义法”的意图，教科书“边空”的“小贴士”表明了这一点：“由例2可知，只要知道角a终边上任意一点的坐标，就可以求出角a的三角函数值．因此，利用角a终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数．你能自己给出这种定义吗？”
至于类似“已知角a终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角a的三角函数值”的问题，显然是一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关．
参考文献：
① [美]M. 克莱因. 古今数学思想（第二册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979，43
② 项武义. 基础数学讲义丛书?基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82
③ 同①，122~123
④ 同②，82
⑤ 同①，182
⑥ 详见②，84~87
名师指导二模后高效复习建议--数学
科学地训练当然是必须把握的教学理念，具体设想是：
1、科学地建构知识体系：----“回归课本”
能力的考查是以数学知识为载体的。因此高考数学复习很重要的工作是准确、系统的掌握高中数学的基础知识，考生应根据自身学习的特点科学地建构知识体系。知识体系的建构要突出重点，揭示联系，简洁实用。回归课本就是要形成知识体系，知识网络。对考生来讲这是一个知识“内化”的过程，只有这样在考试时知识才能用得上，用得好。
2、科学地训练：
在认真分析总结“一摸”、“二摸”试卷的基础上，还要关注知识交叉点的训练。知识的交叉点，即知识之间纵向、横向的有机联系，既体现了数学高考的能力立意，又是高考命题的“热点”，而这恰恰是学生平时学习的“弱点”。
在练习时要注意以下几点：解题要规范。俗话说，“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以务必将解题过程写得层次分明，结构完整。重要的是解题质量而非数量，要针对学生的问题有选择地精练。不满足于会做，更强调解题后的反思常悟，悟出解题策略、思想方法的精华，尤其是一些高考题、新题、难度稍大的题，这种反思更为重要，“多思出悟性，常悟获精华”。
几种有用的提法：
(1)、“快步走，多回头”。
(2)、“会做的可以不做”，课后的作业布置五条题，让学生至少做三题，会做的可以不做，这样做可以把主动权让给学生，提高了复习的效率，而且锻练了学生高考对题目能否会做的判断能力。
(3)“八过关，分层推进，分类突破”。
(4)“紧盯尖子生，狠抓临界生，关心后进生”。
(5)“抓基础，抓重点，抓落实，”
(6)“重组教材，夯实基础，有效训练，及时反馈。”
总之，高考备考工作没有捷径可走，要让学生“知情”，并让学生“领情”，就是走了直径。
高二数学提分法则：熟悉考题保证准确
在忙碌的中，在紧张的中，或许你正在忙于大量的回顾，或许你在拼搏于无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在为一次次和模考成绩不理想而沮丧。但是，不知忙于埋头做题的你有没有发现，不是你的不够强，而是你对如何应考还很陌生。
我们复习的最终目的是提高考试成绩，提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。
如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提高考试的分数呢?对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。
一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩
一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩
二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 >二流的成绩
其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面：
一、熟悉考型，合理安排做题时间。
其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。
拿安徽省的数学高考题为例，安徽省数学高考为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。
一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照我们新东方培养的标准是让在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。
二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。
考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。
对于程度较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。
对于程度一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两题，能做几问就做几问，即使后面的几问不去做，也一定要保证前面的分数，因为最后两题题目的性价比远远不如前面的题目实惠。
对于程度较差的学生，首先，填空选择能会做的就一定要做对，对于大题，能写几问就写几问 高中生物，而最后两道压轴题如果读完之后觉得过难的话，我建议大胆放弃，不要觉得心疼，因为你即使花了很长时间去做去想也不见得能多拿几分，如果把这些时间用在选择填空题中，可能会收益更大。
这个方面，大家也不必盲目模仿别人的做法，还是那句话，要根据自己的情况，自己斟酌。
许多没有考试技巧的学生经常出现的情况是，所有的题目都想做，但所有的题目都完成的匆匆忙忙、漏洞百出，本来会做的题由于匆忙或掉以轻心而失分，而后面的一些大题即使在卷子上写了很“多”，却发现只能得到1分2分。这样的同学就是在考试的方法上很失败，我们应该吸取这样的教训。
三、快速准确，不择手段
考试中有选择题、填空题和解答题，其中选择填空题跟解答题的本质区别是它们是不需要写出解答步骤的，其实命题人已经暗示了我们，选择填空题只要你把答案做出来，无论你用什么方法都是允许的。许多不会考试的人常犯的错误和大忌，就是把每一道题都当作解答题按部就班的去解答，这样，即使你能把题目做对，但是浪费了大量不必要的时间。
其实，许多选择填空题仔细观察题目中的数字和选项，就可以排除一些选项，完全可以降低难度甚至直接选出正确答案，许多填空题往往有许多灵活的技巧，但由于这些技巧在解答题当中往往不适宜写在卷面中，所以经常被我们所忽视掉了。
比如，做选择填空题常用的巧妙方法有：排除法、数形结合、画图观察、代入验证等等方法。这些技巧和方法也是我们在平常的题目讲解中要为学生灌输和渗透的内容，我们在教学中也会逐步培养学生的这种意识。
选择填空题大家一定要重视，不仅仅是因为分值，还因为它会直接影响考生考试的心情，往往会成为一场考试成败的关键。
总之，大家一定要根据自己的实际情况去研究或琢磨考试的方法和技巧，在考试中做到心平气和，正确取舍，这样才能取得的考试。最后祝大家在考试中取得好成绩。
必修5综合测试
1．如果，那么的最小值是（ ）
A．4 B． C．9 D．18
2、数列的通项为=，，其前项和为，则使>48成立的的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（ ）
A．=?8 =?10 B．=?4 =?9 C．=?1 =9 D．=?1 =2
4、△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
5、在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是（ ）
A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第六项
6、在等比数列中，=6，=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．?或?
7、△ABC中，已知，则A的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8、数列中，=15，（），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A． B． C． D．
9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
11、在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=
12．函数的定义域是
13．数列的前项和，则
14、设变量、满足约束条件，则的最大值为
15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是
16、已知数列、都是等差数列，=，，用、分别表示数列、的前项和（是正整数），若+=0，则的值为
17、△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若=4，，求的值。
18、已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求通项公式
（2）设，求数列的前项和
19、已知：，当时，
；时，
（1）求的解析式
（2）c为何值时，的解集为R.
20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。
（1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
21、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
（1）求的值及的表达式；
（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
参考答案：
1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. ; 12.; 13. 48 ; 14.18; 15.10; 16.5;
17、⑴由
18、⑴由题意知
所以
⑵当时，数列是首项为、公比为8的等比数列
所以
当时，所以
综上，所以或
19、⑴由时，；时，
知：是是方程的两根
⑵由，知二次函数的图象开口向下
要使的解集为R，只需
即
∴当时的解集为R.
20、⑴由，知
当且仅当时取等号
∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.
21、⑴
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，
当时，
∴时，
时，
时，
∴中的最大值为
要使对于一切的正整数恒成立，只需∴
将代入，化简得，（?）
若时，显然
若时（?）式化简为不可能成立
综上，存在正整数使成立.
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