注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.若.则( )
A. B. C. D.
4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数在区间的图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.当时,函数取得最大值,则( )
A. B. C. D.1
9.在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则( )
A. B.AB与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A. B. C. D.
12.已知,则( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量.若,则______________.
14.设点M在直线上,点和均在上,则的方程为______________.
15.记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.
16.已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:
| 准点班次数 | 未准点班次数 |
A | 240 | 20 |
B | 210 | 30 |
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附:,
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
18.(12分)
记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
19.(12分)
小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:)的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直.
(1)证明:平面;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
20.(12分)
已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线.
(1)若,求a:
(2)求a的取值范围.
21.(12分)
设抛物线的焦点为F,点,过的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.
(1)求C的方程:
(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方程为(s为参数).
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知均为正数,且,证明:
(1)
(2)若,则.
文科数学解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案】A
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】B
5. 【答案】C
6. 【答案】C
7. 【答案】A
8. 【答案】B
9. 【答案】D
10. 【答案】C
11. 【答案】B
12. 【答案】A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 【答案】##
14. 【答案】
15. 【答案】2(满足皆可)
16.【答案】##
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.
【答案】(1)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为,
(2)有
18. 【答案】(1)证明见解析;
(2).
19.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
20. 【答案】(1)3 (2)
21.
【答案】(1);
(2).
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
【答案】(1);
(2)的交点坐标为,,的交点坐标为,.
[选修4-5:不等式选讲]
23.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】(1)根据,利用柯西不等式即可得证;
(2)由(1)结合已知可得,即可得到,再根据权方和不等式即可得证.
【小问1详解】
证明:由柯西不等式有,
所以,
当且仅当时,取等号,
所以;
【小问2详解】
证明:因为,,,,由(1)得,
即,所以,
由权方和不等式知,
当且仅当,即,时取等号,
所以.
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