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2023年考研数学三真题及参考答案

时间:2023-01-08 18:00:54 考研数学 投诉建议
参考,汉语词语,读音cān kǎo,指参证有关材料来帮助研究和了解;在研究或处理某些事情时,把另外的资料或数据拿来对照。出自《老残游记.第三回》。以下是为大家整理的2023年考研数学三真题及参考答案,欢迎品鉴!

2023年考研数学三真题及参考答案

一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1. 已知函数,则(    ).

A. 不存在,存在                              B. 存在,不存在

C. 存在,存在                                   D. 不存在,不存在

【答案】A.

【解析】由已知,则

,.

当时,,;

当时,,;

所以不存在.

又,存在.

故选A.

2. 函数的一个原函数为(    ).

A.

B.

C.

D.

【答案】D.

【解析】由已知,即连续.

所以在处连续且可导,排除A,C.

又时,,

排除B.

故选D.

3. 若的通解在上有界,则(   ).

A.                                    B.

C.                                     D.

【答案】D.

【解析】微分方程的特征方程为.

①若 ,则通解为;

②若,则通解为;

③若,则通解为.

由于在上有界,若,则①②③中时通解无界,若,则①②③中时通解无界,故.

时,若 ,则,通解为,在上有界.

时,若,则,通解为,在上无界.

综上可得,.

4. 设,且与收敛,绝对收敛是绝对收敛的(    ).

A.充分必要条件                                 B.充分不必要条件          

C.必要不充分条件                    D.既非充分又非必要条件

【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数,进而绝对收敛.

设绝对收敛,则由与比较判别法,得  绝对收玫;

设绝对收敛,则由与比较判别法,得绝对收敛.故选A.

 

5. 为可逆矩阵,为单位阵,为的伴随矩阵,则

A.                              B.

C.                              D.

【答案】B.

【解析】由于

故选B..

6. 的规范形为

A.                 B.                 C.             D.

【答案】B

【解析】

二次型的矩阵为,

 

 

,故规范形为,故选B.

7.已知向量组 ,若 既可由 线性表示,又可由线性表示,则(    )

A.               B.

C.              D.

【答案】D.

【解析】设,则,对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,

解得,故

.

8.设服从参数为1的泊松分布,则(    ).

A.                                      B.                            C.                            D.

【答案】C.

【解析】方法一:由已知可得,,,故

.

故选C.

方法二:由于,于是于是

.

由已知可得,,,故

.

.

故选C.

9.设为来自总体的简单随机样本,为来自总体的简单随机样本,且两样本相互独立,记,,,,则(    )

A.                     B.   

   C.                    D.

【答案】D.

【解析】由两样本相互独立可得与相互独立,且

,,

因此,故选D.

 

10. 已知总体服从正态分布,其中为未知参数,,为来自总体的简单随机样本,记,若,则(    ).

A.            B.           C.            D.

【答案】A.

【解析】由与,为来自总体的简单随机样本,,相互独立,且

,,

因而,令,所以的概率密度为

所以

由,即

解得,故选A.

        

二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.求极限____________.

【答案】.

【解析】

.

12.已知函数满足,且,则

____________.

【答案】.

【解析】由已知,,则

所以,即,,

从而,又,解得,故

,.

13.____________.

【答案】.

【解析】令,则,且

,,

从而可得微分方程,解得,

又,,解得,故

.

14.某公司在时刻的资产为,则从时刻到时刻的平均资产等于,假设连续且,则____________.

【答案】.

【解析】由已知可得,整理变形,

等式两边求导,即,解得一阶线性微分方程通解为

又,解得,故.

 

15.  有解,其中为常数,若 ,则________.

【答案】

【解析】方程组有解,则 ,故.

 

16. 设随机变量与相互独立,且,,则与的相关系数为____________.

【答案】

【解析】由题意可得,,,又由与相互独立可知,,故

三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

已知函数满足,且.

(1)求的值;

(2)判断是否为函数的极值点.

【解】(1)将代入得.

方程两边对求导得

将代入上式得,解得.

 

(2)由(1)知,上式两边再对求导得

将代入上式得,所以是函数的极大值点.

 

18.(本题满分12分)

已知平面区域,

(1)求平面区域的面积.

(2)求平面区域绕一周所形成得旋转体的体积

【解】(1)

.

(2) .

19.(本题满分12分)

已知,求.

【解】令,则

 

20.(本题满分12分)

设函数在上有二阶连续导数.

(1)证明:若,存在,使得;

(2)若在上存在极值,证明:存在,使得.

【证明】(1)将在处展开为

其中介于与之间.

分别令和,则

,,

,,

两式相加可得

又函数在上有二阶连续导数,由介值定理知存在,使得

即.

(2)设在处取得极值,则.

将在处展开为

其中介于与之间.

分别令和,则

,,

,,

两式相减可得

所以

即.

 

21.(本题满分12分)

设矩阵满足对任意的均有.

(1)求

(2)求可逆矩阵与对角阵,使得.

【解】(1)由,得

即方程组对任意的均成立,故.

(2),

,

特征值为.

,;

,;

,,

令 ,则.

 

22.(本题满分12分)

设随机变量的概率密度函数为,令.

(1)求的分布函数;

(2)求的概率密度函数;

(3)判断的数学期望是否存在.

【解】(1)设的分布函数为,由分布函数的定义可得

.

(2)设的分布函数为,概率密度为,由分布函数的定义可得

当时,;

当时,

.

综上,

故的概率密度函数

(3)由(2)知,

故的数学期望不存在.

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