2017年初二数学期末考试是一次重要的考试，勤奋做练习试题是考试复习之前的重要环节。以下是小编为你整理的2017年初二数学上册期末试题，希望对大家有帮助!
2017年初二数学上册期末试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 的倒数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
2.下列运算中，正确的是( )
A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy
3.反比例函数y= 的图象，当x>0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
4.如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.松北某超市今年一月份的营业额为50万元.三月份的营业额为72万元.则二、三两个月平均每月营业额的增长率是( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
6.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2
7.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠(E、F分别是AD、BC上的点)，使点B与四边形CDEF内一点B′重合，若∠B′FC=50°，则∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那么AC边的长是( )
A.6 B.2 C.3 D.2
9.如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E， = ，若AE=1，则EC=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
10.甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶(中途不停留)，前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.下列说法：
①甲、乙两地相距210千米;
②甲速度为60千米/小时;
③乙速度为120千米/小时;
④乙车共行驶3 小时，
其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分，共30分)
11.数字12800000用科学记数法表示为 .
12.函数y= 中，自变量x的取值范围是 .
13.计算： = .
14.把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是 .
15.不等式组 的解集为 .
16.分式方程 = 的解为x= .
17.若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 .
18.已知，平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y= x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积= .
19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B= .
20.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，点P为CD上一动点，当BP+ CP最小时，DP= .
三、解答题(21、22小题各7分，23、24小题各8分，25、26、27小题各10分，共60分)
21.先化简，再求代数式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.
22.如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点A、C、E、F均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形：
(1)在图1中，画一个以AC为一边的△ABC，使∠ABC=45°(画出一个即可);
(2)在图2中，画一个以EF为一边的△DEF，使tan∠EDF= ，并直接写出线段DF的长.
23.为便于管理与场地安排，松北某中学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计.并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：
(1)在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人?并补全条形统计图.
(2)如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目.
24.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形;
(2)把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和.
25.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元.
(1)求这种衬衫原进价为每件多少元?
(2)经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折?
26.已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H.
(1)如图1，求证：∠B=∠C;
(2)如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数;
(3)如图3，在(2)的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和 的值.
27.如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B(A左B右)，交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若∠PCB=45°，求点P的坐标;
(3)点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC= AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积.
28.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF，求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上?若存在，请直接写出相应的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
2017年初二数学上册期末试题答案与解析
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 的倒数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考点】实数的性质.
【分析】 的倒数是 ，但 的分母需要有理化.
【解答】解：因为， 的倒数是 ，而 =
故：选D
2.下列运算中，正确的是( )
A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;分式的乘除法.
【分析】分别利用合并同类项法则以及分式除法运算和积的乘方运算得出即可.
【解答】解：A、2x+2y无法计算，故此选项错误;
B、(x2y3)2=x4y6，故此选项错误;
C、此选项正确;
D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此选项错误;
故选：C.
3.反比例函数y= 的图象，当x>0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
【考点】反比例函数的性质.
【分析】先根据当x>0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可.
【解答】解：∵反比例函数y= 中，当x>0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣2>0，
解得k>2.
故选C.
4.如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
【解答】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形.
故选D.
5.松北某超市今年一月份的营业额为50万元.三月份的营业额为72万元.则二、三两个月平均每月营业额的增长率是( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】可设增长率为x，那么三月份的营业额可表示为50(1+x)2，已知三月份营业额为72万元，即可列出方程，从而求解.
【解答】解：设增长率为x，根据题意得50(1+x)2=72，
解得x=﹣2.2(不合题意舍去)，x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故选：B.
6.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，
故选：A.
7.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠(E、F分别是AD、BC上的点)，使点B与四边形CDEF内一点B′重合，若∠B′FC=50°，则∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
【考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】先根据平角的性质及折叠的性质可求出∠EFB′的度数，再根据平行线的性质解答即可.
【解答】解：∵四边形A′EFB′是四边形ABFE折叠而成，
∴∠BFE=∠EFB′，
∵∠B'FC=50°，
∴∠EFB= = =65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°.
故选B.
8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那么AC边的长是( )
A.6 B.2 C.3 D.2
【考点】解直角三角形.
【分析】根据三角函数的定义及勾股定理求解.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，
∴sinA= = = ，
∴AB=6.
∴AC= =2 .
故选B.
9.如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E， = ，若AE=1，则EC=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 = ，即 = ，然后利用比例性质求EC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
∴EC=2.
故选A.
10.甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶(中途不停留)，前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.下列说法：
①甲、乙两地相距210千米;
②甲速度为60千米/小时;
③乙速度为120千米/小时;
④乙车共行驶3 小时，
其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】一次函数的应用.
【分析】根据题意和函数图象可以分别计算出各个小题中的结果，从而可以判断各小题是否正确，从而可以解答本题.
【解答】解：由图可知，
甲车的速度为：60÷1=60千米/时，故②正确，
则A、B两地的距离是：60× =210(千米)，故①正确，
则乙的速度为：(60×2)÷(2﹣1)=120千米/时，故③正确，
乙车行驶的时间为：2 ﹣1=1 (小时)，故④错误，
故选C.
二、填空题(每小题3分，共30分)
11.数字12800000用科学记数法表示为 1.28×107 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将12800000用科学记数法表示为：1.28×107.
故答案为：1.28×107.
12.函数y= 中，自变量x的取值范围是 x≠﹣2 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解：根据题意得x+2≠0，
解得x≠﹣2.
故答案为：x≠﹣2.
13.计算： = ﹣ .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ .
14.把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是 2(m+2n)(m﹣2n) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】直接提取公因式2，进而利用平方差公式分解即可.
【解答】解：2m2﹣8n2=2(m2﹣4n2)=2(m+2n)(m﹣2n).
故答案为：2(m+2n)(m﹣2n).
15.不等式组 的解集为 ﹣2≤x< .
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集为﹣2≤x< ，
故答案为：﹣2≤x< .
16.分式方程 = 的解为x= 3 .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：3
17.若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 8 .
【考点】弧长的计算.
【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径.
【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，
∴l= ，
即4π= ，
则扇形的半径r=8.
故答案为：8.
18.已知，平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y= x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积= 4 .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】先求出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解：∵一次函数y= x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(﹣4，0)，B(0，2)，
∴△AOB的面积= ×2×4=4.
故答案为：4.
19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B= 72°或18° .
【考点】等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度数和∠ABC的度数即可.
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠A=∠ABP=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =72°;
②如图2，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠PAB=∠ABP=36°，
∴∠BAC=144°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =18°，
故答案为：72°或18°.
20.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，点P为CD上一动点，当BP+ CP最小时，DP= 5 .
【考点】轴对称-最短路线问题;解直角三角形.
【分析】如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.易知PB+ PC=PB+PE，所以当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB= = ，设BE′=5 ，CE′=3k，则AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根据BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解决问题.
【解答】解：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE= PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4 ，
∴PB+ PC=PB+PE，
∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB= = ，设BE′=5 ，CE′=3k，
∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，
∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，
∴(12﹣6k)2+48=9k2+75k2，
整理得k2+3k﹣4=0，
∴k=1或﹣4(舍弃)，
∴BE′=5 ，
∴PB+ PC的最小值为5 .
故答案为5 .
三、解答题(21、22小题各7分，23、24小题各8分，25、26、27小题各10分，共60分)
21.先化简，再求代数式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.
【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.
【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解： ÷(1﹣ )
=
=
= ，
当x=2sin45°﹣tan45°=2× ﹣1= ，
原式= .
22.如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点A、C、E、F均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形：
(1)在图1中，画一个以AC为一边的△ABC，使∠ABC=45°(画出一个即可);
(2)在图2中，画一个以EF为一边的△DEF，使tan∠EDF= ，并直接写出线段DF的长.
【考点】作图—复杂作图;锐角三角函数的定义.
【分析】(1)利用网格特点，AB在水平格线上，BC为4×4的正方形的对角线;
(2)由于tan∠EDF= ，则在含∠D的直角三角形中，满足对边与邻边之比为1：2即可.
【解答】解：(1)如图1，△ABC为所作;
(2)如图2，△DEF为所作，DF= =4 .
23.为便于管理与场地安排，松北某中学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计.并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：
(1)在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人?并补全条形统计图.
(2)如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据跳绳人数除以跳绳人数所占的百分比，可得抽查总人数，根据有理数的减法，可得参加篮球项目的人数，根据参加篮球项目的人数，可得答案;
(2)根据全校学生人数乘以参加篮球项目所占的百分比，可得答案.
【解答】解：(1)抽查总人数是：20÷40%=50(人)，
参加篮球项目的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5(人)，
即小明所在的班级参加篮球项目的同学有5人，
补全条形图如下：
(2)800× =80(人).
答：估计全校学生中大约有80人参加篮球项目.
24.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形;
(2)把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和.
【考点】菱形的判定与性质.
【分析】(1)容易证三角形BCD为等边三角形，又DE=AD=BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形.
(2)画出图形，证出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.
【解答】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，
∴BC= AB，CD= AB=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD=OB，
∴DE=BE，
∵DE=AD，
∴CD=BC=DE=BE，
∴四边形BCDE为菱形;
(2)解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：
则MN=MC= BM，∠ABM=∠A=30°，
∴AM=BM，
∵AC=6，
∴BM+MN=AM+MC=AC=6;
即两条分割线段长度的和为6.
25.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元.
(1)求这种衬衫原进价为每件多少元?
(2)经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设这种衬衫原进价为每件x元.根据“用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元”列出方程并解答，注意需要验根;
(2)设打m折，根据题意列出不等式即可.
【解答】解：(1)设这种衬衫原进价为每件x元
= ，
解得：x=40.
经检验：x=40是原分式方程的解，
答：这种衬衫原进价为每件40元;
(2)设打m折，
8000÷40×3=600，58=29000，
29000+58×100× ≥8000+17600+6300，
解得：m≥5.
答：最多可以打5折.
26.已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H.
(1)如图1，求证：∠B=∠C;
(2)如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数;
(3)如图3，在(2)的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和 的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)如图1中，连接OA.欲证明∠B=∠C，只要证明△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一条直线上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC为等边三角形，即可解决问题.
(3)过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.设ME=x，则BE=2x，BM= x，在△BCM中，根据BC2=BM2+CM2，可得BM=5 ，推出sin∠BCM= = ，推出NE= ，OK= CK= ，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解决问题.
【解答】证明：(1)如图1中，连接OA.
∵AB=AC，
∴ = ，
∴∠AOC=∠AOB，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠B=∠C.
解：(2)连接BC，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH，
∵H、O、B在一条直线上，
∴BH垂直平分AC，
∴AB=BC，∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°.
解：(3)过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.
∵CH=7，
∴BC=AC=14，
设ME=x，
∵∠CEB=120°，
∴∠BEM=60°，
∴BE=2x，
∴BM= x，
△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴142=( x)2+(6+x)2，
∴x=5或﹣8(舍弃)，
∴BM=5 ，
∴sin∠BCM= = ，
∴NE= ，
∴OK= CK= ，
∵NE∥OK，
∴DE：OD=NE：OK=45：49.
27.如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B(A左B右)，交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若∠PCB=45°，求点P的坐标;
(3)点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC= AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用三角形的面积求出a即可得出抛物线解析式;
(2)先判断出∠OBC=45°，而点P在第一象限，所以得出CP∥OB即：点P和点C的纵坐标一样，即可确定出点P坐标;
(3)根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3)，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴ AB•OC=6，
∴ ×4×|3a|=6，
∴a=﹣1或a=1(舍)，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)由(1)知，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴C(0，3)，
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P点的纵坐标为3，
由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
∴x=0(舍)或x=2，
∴P(2，3);
(3)如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
∵C(0，3)，
∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]，
∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，
∴Q(4﹣m，﹣m2+6m﹣5)，
∵A(﹣1，0).
∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]
∵PC= AQ，
∴81PC2=25AQ2，
∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]，
∵0
∴[(m﹣1)2+1]≠0，
∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2，
∴9(m﹣3)=±5(m﹣5)，
∴m= 或m= (舍)，
∴P( ， )，Q( ，﹣ )，
∵C(0，3)，
∴直线CQ的解析式为y=﹣ x+3，
∵P( ， )，
∴D( ，﹣ )，
∴PD= + = ，
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD= PD×xP+ PD×(xQ﹣xP)= PD×xQ= × × = .
28.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF，求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上?若存在，请直接写出相应的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标.
【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A (﹣1，0)，B(5，0)两点，
∴ 解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，﹣m2+4m+5)，E(m，﹣ m+3)，F(m，0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|，
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=|﹣ m+15|
①若﹣m2+ m+2=﹣ m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，
解得：m=2或m= ;
②若﹣m2+ m+2=﹣(﹣ m+15)，整理得：m2﹣m﹣17=0，
解得：m= 或m= .
由题意，m的取值范围为：﹣1
∴m=2或m= .
(3)假设存在.
作出示意图如下：
∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形.
当四边形PECE′是菱形存在时，
由直线CD解析式y=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴ = =，即 = ，解得CE= |m|，
∴PE=CE= |m|，又由(2)可知：PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ;
②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ .
由题意，m的取值范围为：﹣1
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，
此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，
∴P(0，5)
综上所述，存在满足条件的点P坐标为(0，5)或(﹣ ， )或(4，5)或(3﹣ ，2 ﹣3).
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